Kombinace písmen, znaků a čísel v matematických operacích je známá jako algebraické výrazy. Obvykle písmena představují neznámé veličiny a nazývají se proměnné nebo neznámé. Algebraické výrazy umožňují překlady do výrazů matematického jazyka běžného jazyka. Algebraické výrazy vyplývají z povinnosti překládat neznámé hodnoty do čísel, která jsou reprezentována písmeny. Odvětví matematiky odpovědné za studium těchto výrazů, ve kterých se objevují čísla a písmena, jakož i znaky matematických operací, je Algebra.
Co jsou to algebraické výrazy
Obsah
Jak již bylo zmíněno dříve, tyto operace nejsou ničím jiným než kombinací písmen, čísel a znaků, které se později použijí v různých matematických operacích. V algebraických výrazech mají písmena chování čísel, a když se ujmou tohoto kurzu, použije se jedno až dvě písmena.
Bez ohledu na výraz, který máte, je třeba nejprve zjednodušit, čeho lze dosáhnout pomocí vlastností operací, které jsou ekvivalentní s číselnými vlastnostmi. Chcete-li najít číselnou hodnotu algebraické operace, musíte za písmeno nahradit určité číslo.
Na těchto výrazech lze provést mnoho cvičení a budou provedeny v této části, aby se zlepšilo porozumění dotyčnému předmětu.
Příklady algebraických výrazů:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Algebraický jazyk
Algebraický jazyk je jazyk, který k vyjádření čísel používá symboly a písmena. Jeho hlavní funkcí je vytvořit a strukturovat jazyk, který pomáhá zobecnit různé operace, které probíhají v aritmetice, kde se vyskytují pouze čísla a jejich základní aritmetické operace (+ -x%).
Algebraický jazyk si klade za cíl vytvořit a navrhnout jazyk, který pomáhá zobecnit různé operace vyvíjené v aritmetice, kde se používají pouze čísla a jejich základní matematické operace: sčítání (+), odčítání (-), násobení (x) a dělení (/).
Algebraický jazyk se vyznačuje svou přesností, protože je mnohem konkrétnější než numerický jazyk. Jeho prostřednictvím lze krátce vyjádřit věty. Příklad: množina násobků 3 je (3, 6, 9, 12…) vyjádřena 3n, kde n = (1, 2, 3, 4…).
Umožňuje vám vyjádřit neznámá čísla a provádět s nimi matematické operace. Příklad, součet dvou čísel je vyjádřen takto: a + b. Podporuje vyjádření obecných numerických vlastností a vztahů.
Příklad: komutativní vlastnost je vyjádřena takto: axb = bx a. Při psaní pomocí tohoto jazyka lze s neznámými veličinami manipulovat pomocí jednoduchých symbolů, což umožňuje zjednodušení vět, formulaci rovnic a nerovností a studium jejich řešení.
Algebraické znaky a symboly
V algebře se v teorii množin používají symboly i znaky, které tvoří nebo představují rovnice, řady, matice atd. Písmena jsou vyjádřena nebo volána jako proměnné, protože stejné písmeno se používá v jiných problémech a jeho hodnota najde různé proměnné. Mezi některé z klasifikačních algebraických výrazů patří následující:
Algebraické zlomky
Je známý jako algebraický zlomek, který je reprezentován podílem dvou polynomů, které vykazují podobné chování jako číselné zlomky. V matematice můžete s těmito zlomky pracovat násobením a dělením. Proto musí být vyjádřeno, že algebraický zlomek je reprezentován kvocientem dvou algebraických výrazů, kde čitatel je dividenda a jmenovatel dělitel.
Mezi vlastnostmi algebraických zlomků lze zdůraznit, že pokud je jmenovatel rozdělen nebo vynásoben stejnou nenulovou veličinou, zlomek se nezmění. Zjednodušení algebraického zlomku spočívá v jeho transformaci na zlomek, který již nelze zmenšit, přičemž je nutné zohlednit polynomy, které tvoří čitatele a jmenovatele.
Klasifikační algebraické výrazy se odrážejí v následujících typech: ekvivalentní, jednoduché, správné, nevhodné, složené z čitatele nebo nulového jmenovatele. Pak uvidíme každého z nich.
Ekvivalenty
Tomuto aspektu čelíme, když je křížový produkt stejný, tj. Když je výsledek zlomků stejný. Například z těchto dvou algebraických zlomků: 2/5 a 4/10 budou ekvivalentní, pokud 2 * 10 = 5 * 4.
Jednoduchý
Jsou to ty, ve kterých čitatel a jmenovatel představují celočíselné racionální výrazy.
Vlastní
Jsou to jednoduché zlomky, ve kterých je čitatel menší než jmenovatel.
Nevhodný
Jsou to jednoduché zlomky, ve kterých je čitatel roven nebo větší než jmenovatel.
Složený
Jsou tvořeny jednou nebo více zlomky, které mohou být umístěny v čitateli, jmenovateli nebo v obou.
Nulový čitatel nebo jmenovatel
Nastane, když je hodnota 0. V případě, že budete mít zlomek 0/0, bude to neurčité. Při použití algebraických zlomků k provádění matematických operací je třeba vzít v úvahu některé charakteristiky operací s číselnými zlomky, například pro začátek je třeba najít nejmenší společný násobek, pokud mají jmenovatelé různé číslice.
Jak v dělení, tak v násobení se operace provádějí a provádějí stejně jako u číselných zlomků, protože je nutné je kdykoli dříve zjednodušit.
Monomials
Monomials jsou široce používané algebraické výrazy, které mají konstantu zvanou koeficient a doslovnou část, která je reprezentována písmeny a lze ji pozvednout na různé mocniny. Například monomiální 2x² má jako koeficient 2 a x² je doslovná část.
Při několika příležitostech může být doslovná část tvořena násobením neznámých, například v případě 2xy. Každé z těchto písmen se nazývá neurčité nebo proměnné. Monomial je typ polynomu s jediným termínem, navíc existuje možnost být před podobnými monomials.
Prvky monomiálů
Vzhledem k monomii 5x ^ 3; Rozlišují se tyto prvky:
- Koeficient: 5
- Doslovná část: x ^ 3
Produktem monomiálů je koeficient, který se vztahuje k číslu, které se objeví vynásobením doslovné části. Obvykle je umístěn na začátku. Pokud má součin monomiálů hodnotu 1, není zapsán a nikdy nemůže být nulový, protože celý výraz by měl hodnotu nula. Pokud je něco, co byste měli vědět o monomiálních cvičeních, pak je to toto:
- Pokud monomiku chybí koeficient, je roven jedné.
- Pokud některý člen nemá exponenta, rovná se jednomu.
- Pokud jakákoli doslovná část není k dispozici, ale je požadována, uvažuje se s exponentem nula.
- Pokud nic z toho nesouhlasí, pak nemáte co do činění s monomiálními cvičeními, můžete dokonce říci, že stejné pravidlo existuje i pro cvičení mezi polynomy a monomály.
Sčítání a odčítání monomiálů
Aby bylo možné provádět součty mezi dvěma lineárními monomály, je nutné zachovat lineární část a přidat koeficienty. V odčítání dvou lineárních monomiálů musí být lineární část zachována, stejně jako v součtech, aby bylo možné odečíst koeficienty, poté se koeficienty násobí a exponenty se sčítají se stejnými základnami.
Násobení monomiálů
Je to monomiál, jehož koeficient je součinem nebo výsledkem koeficientů, které mají doslovnou část, která byla získána násobením sil, které mají přesně stejný základ.
Rozdělení monomiálů
Není to nic jiného než jiný monomiál, jehož koeficient je kvocientem získaných koeficientů, které navíc mají doslovnou část získanou z rozdělení mezi mocnostmi, které mají přesně stejný základ.
Polynomy
Když mluvíme o polynomech, odkazujeme na algebraickou operaci sčítání, odčítání a uspořádaného násobení z proměnných, konstant a exponentů. V algebře může mít polynom více než jednu proměnnou (x, y, z), konstanty (celá čísla nebo zlomky) a exponenty (což mohou být pouze kladná celá čísla).
Polynomy jsou tvořeny konečnými členy, každý člen je výraz, který obsahuje jeden nebo více ze tří prvků, se kterými jsou vytvořeny: proměnné, konstanty nebo exponenty. Například: 9, 9x, 9xy jsou všechny výrazy. Dalším způsobem, jak identifikovat pojmy, je to, že jsou odděleny sčítáním a odčítáním.
Chcete-li vyřešit, zjednodušit, přidat nebo odečíst polynomy, musíte spojit výrazy se stejnými proměnnými, jako jsou například výrazy s x, výrazy s „y“ a výrazy, které proměnné nemají. Je také důležité podívat se na znaménko před termínem, který určí, zda se má sčítat, odečítat nebo násobit. Pojmy se stejnými proměnnými jsou seskupeny, přidány nebo odečteny.
Druhy polynomů
Počet výrazů, které má polynom, bude udávat, o jaký typ polynomu se jedná, například pokud existuje jednočlenný polynom, pak čelí monomiku. Jasným příkladem toho je jedno z polynomiálních cvičení (8xy). Existuje také dvoučlenný polynom, který se nazývá binomický a je identifikován následujícím příkladem: 8xy - 2y.
Nakonec polynom tří termínů, které jsou známé jako trinomials a jsou identifikovány jedním z polynomiálních cvičení 8xy - 2y + 4. Trinomials jsou typem algebraického výrazu tvořeného součtem nebo rozdílem tří členů nebo monomials (podobné monomials).
Je také důležité hovořit o stupni polynomu, protože pokud jde o jedinou proměnnou, je to největší exponent. Stupeň polynomu s více než jednou proměnnou je určen termínem s největším exponentem.
Sčítání a odčítání polynomů
Součet polynomů zahrnuje kombinování termínů. Podobné výrazy se vztahují k monomiálům, které mají stejnou proměnnou nebo proměnné zvednuté na stejnou moc.
Existují různé způsoby provádění polynomiálních výpočtů, včetně součtu polynomů, které lze provést dvěma různými způsoby: horizontálně a vertikálně.
- Součet polynomů vodorovně: používá se k provádění operací vodorovně, redundance stojí za to, ale nejprve se napíše polynom a poté se na něm sleduje stejný řádek. Poté se zapíše další polynom, který se má přidat nebo odečíst, a nakonec se podobné termíny seskupí.
- Svislý součet polynomů: je toho dosaženo uspořádáním prvního polynomu. Pokud toto není úplné, je důležité nechat mezery chybějících výrazů volné. Potom je další polynom zapsán těsně pod předchozí, tímto způsobem bude termín podobný výše uvedenému níže. Nakonec se přidá každý sloupec.
Je důležité dodat, že k přidání dvou polynomů je třeba přidat koeficienty výrazů stejného stupně. Výsledkem přidání dvou termínů stejného stupně je další termín stejného stupně. Pokud některý ze stupňů chybí, může být doplněn číslem 0. Obecně jsou řazeny od nejvyššího po nejnižší stupeň.
Jak již bylo zmíněno výše, k provedení součtu dvou polynomů je nutné přidat pouze výrazy stejného stupně. Vlastnosti této operace jsou tvořeny:
- Asociativní vlastnosti: ve kterých je součet dvou polynomů vyřešen přidáním koeficientů, které doprovázejí x, které stoupají ke stejné síle.
- Komutativní vlastnost: která mění pořadí sčítání a výsledek nelze odvodit. Neutrální prvky, které mají všechny své koeficienty rovné 0. Když je k neutrálnímu prvku přidán polynom, výsledek se rovná prvnímu.
- Opačná vlastnost: tvořená polynomem, který má všechny inverzní koeficienty agregovaných polynomických koeficientů. tedy při provádění operace sčítání je výsledkem nulový polynom.
Pokud jde o odčítání polynomů (operace s polynomy), je nutné seskupovat monomily podle charakteristik, které mají, a začít zjednodušením těch, které byly podobné. Operace s polynomy se provádějí přidáním opaku subtrendu k minuendě.
Dalším efektivním způsobem, jak postupovat při odečítání polynomů, je zapsat opak každého polynomu pod druhý. Podobné monomie tedy zůstávají ve sloupcích a my je přidáváme. Bez ohledu na to, jaká technika se provádí, nakonec bude výsledek vždy stejný, pokud bude proveden správně.
Násobení polynomů
Násobení monomiálů nebo cvičení mezi polynomy a monomály je operace, která se provádí za účelem nalezení výsledného produktu, mezi monomiálem (algebraický výraz založený na násobení čísla a písmene zvýšeného na celé číslo a kladný exponent) a dalším výraz, pokud se jedná o nezávislý člen, jiný monomiál nebo dokonce polynom (konečný součet monomiálů a nezávislých členů).
Stejně jako u téměř všech matematických operací má však násobení polynomů také řadu kroků, které je třeba dodržet při řešení navrhované operace, které lze shrnout do následujících postupů:
První věc, kterou musíte udělat, je vynásobit monomiál jeho výrazem (vynásobit znaky každého z jeho výrazů). Poté se hodnoty koeficientů znásobí a když je hodnota nalezena v této operaci, je přidán literál monomiálů nalezených v podmínkách. Pak je každý výsledek zapsán v abecedním pořadí a nakonec je přidán každý exponent, který je umístěn v základních literálech.
Polynomiální dělení
Také známý jako Ruffiniho metoda. Umožňuje nám rozdělit polynom na binární a také nám umožňuje lokalizovat kořeny polynomu, abychom jej rozčlenili na binární. Jinými slovy, tato technika umožňuje rozdělit nebo rozložit algebraický polynom stupně n na algebraický binomiál a poté na další algebraický polynom stupně n-1. Aby to bylo možné, je nutné znát nebo znát alespoň jeden z kořenů jedinečného polynomu, aby byla separace přesná.
Jedná se o efektivní techniku dělení polynomu na dvojčlen ve tvaru x - r. Ruffiniho pravidlo je zvláštním případem syntetického dělení, když je dělitel lineárním faktorem. Ruffiniho metodu popsal italský matematik, profesor a lékař Paolo Ruffini v roce 1804, který kromě vynalezení slavné metody zvané Ruffiniho pravidlo, která pomáhá najít koeficienty výsledku fragmentace polynomu pomocí binomický; Tuto techniku také objevil a formuloval na přibližném výpočtu kořenů rovnic.
Jako vždy, pokud jde o algebraickou operaci, zahrnuje Ruffiniho pravidlo řadu kroků, které je třeba splnit, aby se dosáhlo požadovaného výsledku, v tomto případě: nalezení kvocientu a zbytku inherentního v rozdělení jakéhokoli typu polynomu a binomický tvar x + r.
Nejprve při spuštění operace musí být výrazy zkontrolovány, aby se ověřilo nebo určilo, zda jsou skutečně považovány za polynomy a binomie, které reagují na očekávaný tvar metodou Ruffini Rule.
Po ověření těchto kroků je polynom seřazen (v sestupném pořadí). Po tomto kroku se zohlední pouze koeficienty podmínek polynomu (až do nezávislého), které se umístí do řady zleva doprava. Některé termíny jsou ponechány pro potřebné termíny (pouze v případě neúplného polynomu). Značka kuchyně je umístěna vlevo od řady, která je tvořena koeficienty dividendového polynomu.
V levé části galerie pokračujeme umístěním nezávislého členu binomia, který je nyní dělitelem a jeho znaménko je inverzní. Nezávislý je vynásoben prvním koeficientem polynomu, čímž se zaregistruje ve druhém řádku pod prvním. Pak se druhý koeficient a součin nezávislého monomálního členu odečtou od prvního koeficientu.
Nezávislý člen dvojčlenu se vynásobí výsledkem předchozího odčítání. Kromě toho je umístěn ve druhé řadě, což odpovídá čtvrtému koeficientu. Operace se opakuje, dokud nejsou dosaženy všechny termíny. Třetí řádek, který byl získán na základě těchto multiplikací, je považován za kvocient, s výjimkou jeho posledního funkčního období, které bude považováno za zbytek divize.
Výsledek je vyjádřen, doprovází každý koeficient proměnné a stupeň, který jí odpovídá, a začíná je vyjadřovat nižším stupněm, než jaký původně měli.
- Věta o zbytku: jedná se o praktickou metodu, která se používá k rozdělení polynomu P (x) na jiný, jehož forma je xa; ve kterém se získá pouze hodnota zbytku. Chcete-li použít toto pravidlo, postupujte podle následujících kroků. Polynomiální dividenda se zapisuje bez dokončení nebo řazení, poté se proměnná x dividendy nahradí opačnou hodnotou nezávislého členu dělitele. A nakonec jsou operace řešeny v kombinaci.
Zbytek věta je metoda, kterou můžeme získat zbytek algebraického dělení, ale ve kterém není nutné dělat žádné dělení.
- Ruffiniho metoda: Ruffiniho metoda nebo pravidlo je metoda, která nám umožňuje rozdělit polynom na binomický a také nám umožňuje lokalizovat kořeny polynomu, aby se zohlednil v binomiích. Jinými slovy, tato technika umožňuje rozdělit nebo rozložit algebraický polynom stupně n na algebraický binomiál a poté na další algebraický polynom stupně n-1. Aby to bylo možné, je nutné znát nebo znát alespoň jeden z kořenů jedinečného polynomu, aby separace byla přesná.
- Kořeny polynomů: Kořeny polynomu jsou určitá čísla, díky nimž je polynom v hodnotě nula. Můžeme také říci, že úplné kořeny polynomu celočíselných koeficientů budou děliteli nezávislého členu. Když vyřešíme polynom rovný nule, získáme kořeny polynomu jako řešení. Jako vlastnosti kořenů a faktorů polynomů můžeme říci, že nuly nebo kořeny polynomu jsou děliteli nezávislého členu, který k polynomu patří.
To nám umožňuje zjistit například zbytek dělení polynomu p (x) jinou formou xa. Z této věty vyplývá, že polynom p (x) je dělitelný xa pouze v případě, že a je kořenem polynomu, pouze tehdy a jen tehdy, když p (a) = 0. Pokud C (x) je kvocient a R (x) je zbytek dělení libovolného polynomu p (x) dvojčlenem, který by byl (xa) číselnou hodnotou p (x), pro x = a se rovná zbytku jeho dělení xa.
Pak řekneme, že: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). Obecně platí, že pro získání zbytku dělení Xa je vhodnější použít Ruffiniho pravidlo, než nahradit x. Proto je zbývající věta nejvhodnější metodou řešení problémů.
V matematickém světě je Ruffiniho pravidlo efektivní technikou pro dělení polynomu na binomický tvar x - r. Ruffiniho pravidlo je zvláštním případem syntetického dělení, když je dělitel lineárním faktorem.
Ruffiniho metodu popsal italský matematik, profesor a lékař Paolo Ruffini v roce 1804, který kromě vynalezení slavné metody zvané Ruffiniho pravidlo, která pomáhá najít koeficienty výsledku fragmentace polynomu pomocí binomický; Tuto techniku také objevil a formuloval na přibližném výpočtu kořenů rovnic.
Potom pro každý kořen například typu x = a odpovídá binomický typ (xa). Je možné vyjádřit polynom v faktorech, pokud jej vyjádříme jako součin nebo ze všech dvojčlenů typu (xa), které odpovídají kořenům, x = a, výsledku. Je třeba vzít v úvahu, že součet exponentů dvojčlenů se rovná stupni polynomu, mělo by se také vzít v úvahu, že jakýkoli polynom, který nemá nezávislý člen, připustí jako root x = 0, jinak to připustí jako X Factor.
Polynomiální budeme nazývat „prvočíslo“ nebo „Neredukovatelný“, pokud neexistuje možnost jeho rozložení na faktory.
Abychom se ponořili do předmětu, musíme si vyjasnit základní teorém algebry, který říká, že stačí, aby polynom v nekonstantní proměnné a komplexních koeficientech měl tolik kořenů jako jejich stupeň, protože kořeny mají svou multiplicitu. To potvrzuje, že jakákoli algebraická rovnice stupně n má n komplexních řešení. Polynom stupně n má maximálně n reálných kořenů.
Příklady a cvičení
V této části umístíme některé algebraické výrazy řešené cvičení každého z témat zahrnutých v tomto příspěvku.
Cvičení algebraických výrazů:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Součet polynomů
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Odečítání polynomů
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Polynomiální dělení
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 a
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Algebraické výrazy (binomické na druhou)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Věta o zbytku
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Násobení monomiálů
axnbxm = (ab) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2,5 · x2y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Rozdělení monomiálů
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 a
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6-6
v2. C. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2v
Sčítání a odčítání monomiálů
Cvičení: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Řešení: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
